Шкеыҥжым муашлан Йакобин алгоритмже

Шкеыҥжым муашлан Йакобин алгоритмже — вещественле симметрий матрицын чыла шке ыҥжым да чыла шке вектор-влакым муашлан шотпал йӧн. Тиде йӧным Карл Густав Йакоб Йакоби икымше гана 1846 ийыште темлен.

Алгоритм нерген

Шонкалена, A - тиде симметрий матрице да G = G(i,j,θ) - тиде Гивенсын савыралмашын матрицыже. Тунам:

$A'=G^{\top }AG\,$

симметрий улеш да A матрицелан келшыше улеш.

Тылеч гоч, A′ матрицыште тыгай тӱҥлык-влак улыт:

${\begin{aligned}A'_{ii}&=c^{2}\,A_{ii}-2\,sc\,A_{ij}+s^{2}\,A_{jj}\\A'_{jj}&=s^{2}\,A_{ii}+2sc\,A_{ij}+c^{2}\,A_{jj}\\A'_{ij}&=A'_{ji}=(c^{2}-s^{2})\,A_{ij}+sc\,(A_{ii}-A_{jj})\\A'_{ik}&=A'_{ki}=c\,A_{ik}-s\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{jk}&=A'_{kj}=s\,A_{ik}+c\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{kl}&=A_{kl}&k,l\neq i,j\end{aligned}}$

кушто s = sin(θ) да c = cos(θ).

Нуно келшыше улыт, садлан A да A′ икгай Фробениусын нормыжым кучат ||·||_F , туге гынат ме θ тыгайым ойырен кертына: A′_ij = 0, туге гын A′ матрицыште диагональыште шогышо тӱҥлык-влакын квадратын чумыржо утларак лиеш:

$A'_{ij}=\cos(2\theta )A_{ij}+{\tfrac {1}{2}}\sin(2\theta )(A_{ii}-A_{jj})$

Тидым укелыкыш савырена, да тидым луктын налына:

$\tan(2\theta )={\frac {2A_{ij}}{A_{jj}-A_{ii}}}$

Лектышыже сайрак лийже манын, A_ij - эн кугу диагональыште огыл шогышо тӱҥлык лийшаш, тидым pivot лӱмдат.

Шкеыҥжым муашлан Йакобин йӧнже тыгай савырымашым ала-мыняр пачаш ышта, тумарте матрице симметрий наре лиеш. Тунам диагональыште шогышо тӱҥлык-влак A матрицын чын шкеыҥже-влак наре лийыт.

Алгоритм

Ӱлно возымо алгоритм Якобин йӧнжым ончыкта. Тудо C++ йылме дене возымо. Тиде алгоритм шкеыҥжым гына муэш. Шкевекторжым муашлат керек-могай СЛАУ рашемдашлан алгоритмым кучаш лиеш. Мутлан, ик эн изи алгоритм - Гаус йӧн. Тиде йӧн почеш матрицым кумлукан сыныш савыраш кӱлеш, варажым шкевекторым муаш неле огыл.

void diagonalize_sym(array<double,2>^ A, int n)
// A - пуымо тӱҥалтыш вещественле матрице. Тушто ошкыл почеш ошкыл дене
//     шкеыҥже-влак тӱҥ диагональыште шогаш тӱҥалыт.
// n - матрицын кугытшо.
{
	int k, done; 
	double discr, aii, aij, ajj, aik, ajk, v1, v2, norm; 
 
	do
	{
		done = 1; 
		for (int i=0;i<n;i++) // тиде кок цикл-влак укелыкыш савырыме тӱҥлык-влакым ойырен налыт
			for (int j=0;j<i;j++)
			{ 
				aii = A[i,i];
				aij = A[i,j];
				ajj = A[j,j];
				if (Math::Abs(aij)>1e-100)
				{ 
					discr = Math::Sqrt((aii-ajj)*(aii-ajj)+4*aij*aij); 
					/* Шкеыҥжым шотлаш. */
					if (aii+ajj>0)
					{ 
						A[i,i] = (aii+ajj+discr)/2;
						A[j,j] = (aii*ajj-aij*aij)/A[i,i]; 
					}
					else
					{ 
						A[j,j] = (aii+ajj-discr)/2;
						A[i,i] = (aii*ajj-aij*aij)/A[j,j];
					}
					A[i,j] = 0;
					A[j,i] = 0;

					if (aii>ajj)
					{ 
						v1 = (aii-ajj+discr)/2;
						v2 = aij;
					}
					else
					{
						v1 = aij;
						v2 = (ajj-aii+discr)/2;
					}
					norm = Math::Sqrt(v1*v1+v2*v2);
					v1 /= norm;
					v2 /= norm;
					/* Вашталтымашым матрицыште кодшо верыш пурташ. */
					for (k=0;k<n;k++) if (k!=i && k!=j)
					{
						aik = A[i,k];
						ajk = A[j,k];
						A[i,k] = v1*aik+v2*ajk;
						A[k,i] = v1*aik+v2*ajk;
						A[j,k] = -v2*aik+v1*ajk;
						A[k,j] = -v2*aik+v1*ajk;
					}
					done = 0;
				}
			}
	}
	while (!done);

Англичан википедийыште эше вес алгоритм уло. Тудо математик семын возымо, шкеыҥжым да шкевекторжым муэш, но тудо шкеыҥже-влакым южгунам муын ок керт, алгоритм деч вара тӱткынрак умылтарымашым лудса.

Укелыкыш савырыме тӱҥлыкым кузе ойырен налаш лиеш

Чылаже тудым кум йӧн дене ойырен налаш лиеш:

• Абсолют ыҥже дене эн кугум да диагональыште огыл шогышо тӱҥлыкым налаш лиеш.
• Цикл дене укелыкыш савырыме тӱҥлыкым налаш лиеш. Тудым тыге налыт:

(1,2), (1,3), ..., (1,n), (2,3), (2,4), ..., (2,n), (3,4), ..., (3,n), ..., (n-1,n)

• Оптимал тӱҥлыкым налме йӧн. Тӱҥалашлан корным муаш кӱлеш. Тиде корнышто диагональыште огыл шогышо тӱҥлыкын чумыржо эн кугу лийшаш. А варажым тиде корнышто абсолют ыҥже дене эн кугу тӱҥлыкым муыт. Тиде тӱҥлыкым укелыкыш савыраш кӱлеш.

Негыз

• Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. К.Ю. Богачев. Моско, 1998.